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宇宙学中的各种功率谱的计算  

2012-10-04 10:43:04|  分类: cosmology |  标签: |举报 |字号 订阅

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这里谈到的宇宙学,主要是指inflation以及reheating结束以后,不涉及任何的原初功率谱的计算,因此这里假定我们已经有了 原初功率谱。这个原初功率谱具体形式对于我这篇文章而言其实不是很重要,这篇文章主要致力于描述如何计算出可以与实际观测进行比较的功率谱,比如CMB 等。在正式描述如何计算功率谱之前,还得先就“功率谱”本身作些简单的介绍,先从一些物理学专业学生都熟知的东西入手,然后将功率谱这个概念推广到宇宙学中来,不过这介绍可能会比较长,所以暂且留到下一篇日志中。

这些功率谱,其实就是对一些(线性)随机扰动的两点关联函数的傅立叶变换。而这些扰动并不是一成不变的,而是会在引力的作用下慢慢增长(同时也有一 些其他的物理过程会阻止增长),总之,这些扰动会随着时间而改变。因此,当我们提到功率谱的时候,其实都是指某个时候(宇宙学中习惯于说某个红移处的)。 那么该如何来计算任意时刻的功率谱呢?好在我们能够用微扰论的方法来得到这些扰动的运动方程,而且初始条件也已经由Inflation给出了(原初功率谱 ),那么剩下来的任务就是解这些运动方程。下面假定我们的方程是物质密度扰动的演化方程,同时还有其他一些方程与其耦合在一起,不过我们暂不需要知道太多。

要想解这些运动方程,困难还是挺大的。一般情况,当我们写下一个或者一组运动方程的时候,都是在实空间里面,而对于我们现在所面临的问题,变换到傅 立叶空间里去却是更好的选择。一个很重要的原因是,我们永远也无法对实际空间中的某一点的扰动给出初始条件,因为这些扰动都是随机的。相反,在傅立叶空间 中,我们有功率谱,也就可以确定出每一个(扰动的)傅立叶模的初始大小(实际空间的某一点出的扰动可以分解为很多傅立叶模的叠加),所以把运动方程变换到 傅立叶空间下是个民智的选择。

OK,现在我们能够“解”这些运动方程了(很多细节都被我忽略了,因为这里的重点是整个计算过程的思路),那么只需将这组方程演化到我们所希望的红移处,就可以直接得到所需要的功率谱了(功率谱在某个k的值就是相应扰动的k-mode的平方乘上某个系数 ),当然,这样得到的功率谱还不能和实际观测进行对比,还要进行相应的归一化,读者可以去参考相关教材(比如《现代宇宙学》,《宇宙膨胀和大尺度结构》 等)。另外,我还忽略了一个问题,实际中去进行计算时,方程都是离散的,而且都是借助于计算机程序来完成的。离散的情况下会容易弄错一些傅立叶变换系数, 所以在写出那些运动方程,以及写计算程序的时候都得小心。

到现在为止,我们得到了物质功率谱,下面我们来尝试计算weak lensing的功率谱(其定义请参考《现代宇宙学》)。对于WL,我们不去尝试写出一套演化方程来,因为WL是和观测者的位置直接相关的,所以得到的方 程必然会很复杂。不过在线性近似下,WL的功率谱可以很简洁地和物质功率谱联系起来,所以我们可以猜测以下大概是什么样的形式:因为WL的本质是光线的偏 折,那么肯定会和物质的密度扰动有关,而且是正比的关系,所以WL的功率谱必定是对物质功率谱的一个积分,之所以是积分而不是乘以某个系数,是因为随时间 不同,密度功率谱也在变,而光线从源出发到观测者,是需要时间的,最终的效应其实是不同时刻的效应的叠加,所以就会出现一个积分。另外,这个积分下还会有 个窗函数,因为实际的观测不可能看到所有的WL透镜。不同的红移处,WL透镜的数目也不一样,所以这样一个窗函数,是用来做一个改正的,使得理论的计算能 和观测的结果相比较。

总结:首先得理解什么是功率谱,然后知道如何得到相应的运动方程(比如密度扰动),并且去解出来。物质功率谱的计算算是很基本的,其他如WL等的功率谱,都是和物质功率谱联系在一起的,所以本质都是一样的,无非是多了一些积分而已(当然有新的物理过程进来了 )。

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